知识整合与阶段检测

　　[对应学生用书P46]

　　[对应学生用书P46]

归纳--猜想--证明 　　

　　不完全归纳的作用在于发现规律，探求结论，但结论是否为真有待证明，因而数学中我们常用归纳--猜想--证明的方法来解决与正整数有关的归纳型和存在型问题．

　　[例1]　设数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n＝1,2,3，...

　　(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出数列{an}的一个通项公式．

　　(2)当a1≥3时，证明对所有的n≥1，有①an≥n＋2；②＋＋...＋≤.

　　[解]　(1)由a1＝2，得a2＝a－a1＋1＝3；

　　由a2＝3，得a3＝a－2a2＋1＝4；

　　由a3＝4，得a4＝a－3a3＋1＝5.

　　由此猜想：an＝n＋1(n∈N＋)．

　　(2)①用数学归纳法证明：

　　当n＝1时，a1≥3＝1＋2，不等式成立；

　　假设当n＝k时，不等式成立，即ak≥k＋2，

　　那么当n＝k＋1时，

ak＋1＝a－kak＋1＝ak(ak－k)＋1