考情分析

　　从近两年的高考试题来看，不等式的证明主要考查比较法与综合法，而比较法多用作差比较，综合法主要涉及基本不等式与不等式的性质，题目难度不大，属中档题．

　　在证明不等式时，要依据命题提供的信息选择合适的方法与技巧进行证明．如果已知条件与待证结论之间的联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以"至少""至多""恒成立"等方式给出，可考虑用反证法．在必要的情况下，可能还需要使用换元法、放缩法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．

　　真题体验

　　1．(2017·全国卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：

　　(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；

　　(2)a＋b≤2.

　　证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6

　　＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)

　　＝4＋ab(a2－b2)2≥4.

　　(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3

　　＝2＋3ab(a＋b)≤2＋(a＋b)

　　＝2＋，

　　所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.

　　2．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)＜2的解集．

　　(1)求M；

　　(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.

　　解：(1)f(x)＝

　　当x≤－时，由f(x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1；

当－＜x＜时，f(x)＜2恒成立；