2019-2020学年北师大版选修1-1 导数与不等式 学案
2019-2020学年北师大版选修1-1    导数与不等式     学案第1页

题型一 证明不等式

例1 设函数f(x)=lnx-x+1.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)证明当x∈(1,+∞)时,1<

(1)解 由题设知,f(x)的定义域为(0,+∞),

f′(x)=-1,令f′(x)=0,解得x=1.

当00,f(x)单调递增;当x>1时,f′(x)<0,f(x)单调递减.

(2)证明 由(1)知,f(x)在x=1处取得极大值也为最大值,最大值为f(1)=0.

所以当x≠1时,lnx

故当x∈(1,+∞)时,lnx

即1<

思维升华 (1)证明f(x)>g(x)的一般方法是证明h(x)=f(x)-g(x)>0(利用单调性),特殊情况是证明f(x)min>g(x)max(最值方法),但后一种方法不具备普遍性.

(2)证明二元不等式的基本思想是化为一元不等式,一种方法为变换不等式使两个变元成为一个整体,另一种方法为转化后利用函数的单调性,如不等式f(x1)+g(x1)

跟踪训练1已知函数f(x)=xlnx-ex+1.

(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)证明:f(x)

(1)解 依题意得f′(x)=lnx+1-ex,

又f(1)=1-e,f′(1)=1-e,故所求切线方程为y-1+e=(1-e)(x-1),即y=(1-e)x.

(2)证明 依题意,要证f(x)

即证xlnx-ex+1

即证xlnx

当00,xlnx≤0,

故xlnx

当x>1时,令g(x)=ex+sinx-1-xlnx,

故g′(x)=ex+cosx-lnx-1.