2019-2020学年北师大版选修1-1 导数与不等式 学案
2019-2020学年北师大版选修1-1    导数与不等式     学案第2页

令h(x)=g′(x)=ex+cosx-lnx-1,

则h′(x)=ex--sinx,

当x>1时,ex->e-1>1,

所以h′(x)=ex--sinx>0,

故h(x)在(1,+∞)上单调递增.

故h(x)>h(1)=e+cos1-1>0,即g′(x)>0,

所以g(x)在(1,+∞)上单调递增,

所以g(x)>g(1)=e+sin1-1>0,

即xlnx

综上所述,f(x)

题型二 不等式恒成立或有解问题

例2(2018·大同模拟)已知函数f(x)=.

(1)若函数f(x)在区间上存在极值,求正实数a的取值范围;

(2)如果当x≥1时,不等式f(x)≥恒成立,求实数k的取值范围.

解 (1)函数的定义域为(0,+∞),

f′(x)==-,

令f′(x)=0,得x=1.

当x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;

当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.

所以x=1为函数f(x)的极大值点,且是唯一极值点,

所以0

(2)当x≥1时,k≤恒成立,

令g(x)=(x≥1),

则g′(x)=