2019-2020学年北师大版选修1-1 导数与不等式 学案
2019-2020学年北师大版选修1-1    导数与不等式     学案第3页

=.

再令h(x)=x-lnx(x≥1),则h′(x)=1-≥0,

所以h(x)≥h(1)=1,所以g′(x)>0,

所以g(x)为单调增函数,所以g(x)≥g(1)=2,

故k≤2,即实数k的取值范围是(-∞,2].

引申探究

本例(2)中若改为:∃x0∈[1,e],使不等式f(x0)≥成立,求实数k的取值范围.

解 当x∈[1,e]时,k≤有解,

令g(x)=(x∈[1,e]),由例(2)解题知,

g(x)为单调增函数,所以g(x)max=g(e)=2+,

所以k≤2+,即实数k的取值范围是.

思维升华利用导数解决不等式的恒成立问题的策略

(1)首先要构造函数,利用导数求出最值,求出参数的取值范围.

(2)也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.

跟踪训练2 已知函数f(x)=ax+lnx,x∈[1,e],若f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围.

解 ∵f(x)≤0,即ax+lnx≤0对x∈[1,e]恒成立,

∴a≤-,x∈[1,e].

令g(x)=-,x∈[1,e],

则g′(x)=,

∵x∈[1,e],∴g′(x)≤0,

∴g(x)在[1,e]上单调递减,

∴g(x)min=g(e)=-,

∴a≤-.

∴实数a的取值范围是.