2019-2020学年人教B版必修二 解析几何问题的热点题型 教案
2019-2020学年人教B版必修二    解析几何问题的热点题型  教案第1页

1.(2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点,

(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;

(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.

解 (1)由题设可得M(2,a),N(-2,a),

或M(-2,a),N(2,a).

又y′=,故y=在x=2处的导数值为,C在点(2,a)处的切线方程为y-a=(x-2),

即x-y-a=0.

y=在x=-2处的导数值为-,C在点(-2,a)处的切线方程为y-a=-(x+2),

即x+y+a=0.

故所求切线方程为x-y-a=0和x+y+a=0.

(2)存在符合题意的点,证明如下:

设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.

将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.

故x1+x2=4k,x1x2=-4a.

从而k1+k2=+

==.

当b=-a时,有k1+k2=0,

则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,

故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.

2.(2016·北京卷)已知椭圆C:+=1过点A(2,0),B(0,1)两点.

(1)求椭圆C的方程及离心率;

(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.

(1)解 由题意知a=2,b=1.

所以椭圆方程为+y2=1,又c==.