§1.1.1 变化率问题

学习目标

1. 知识与技能 平均变化率的概念;平均变化率的几何意义， 函数在某点处附近的平均变化率

2. 过程与方法 理解平均变化率的概念; 会求函数在某点处附近的平均变化率

3. 情感态度与价值观

学习重点 平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率

学习难点 平均变化率的概念.

学习连接

学习过程

一、创设情景

　为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:

一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;

二、求曲线的切线;

三、求已知函数的最大值与最小值;

四、求长度、面积、体积和重心等.

　导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.

　导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.

二、新课讲授

(一)问题提出

问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

气球的体积(单位:)与半径(单位:)之间的函数关系是

如果将半径表示为体积的函数,那么

分析:

(1)当从增加到时,气球半径增加了

　　　　　气球的平均膨胀率为

(2)当从增加到时,气球半径增加了

　　　　　气球的平均膨胀率为

　　　可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.

思考: 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?