高手支招3综合探究

1.综合法和分析法

综合法是证明不等式时一种较为简捷的方法,其简捷之处就在于直接运用了不等式的有关定理、性质来解决问题.当然,要想运用定理、不等式,必须具备相应的条件,另外,在证题过程中,要能够通过对条件与结论及不等式两端的差距与联系的比较、分析,制定出合理的解题策略,并加以实施.

分析法是证明不等式的一种常用的方法,通常情况下,当一个不等式无法利用比较法和综合法加以证明时,可以采用这一方法.这一方法对于一些条件较为简单而结论复杂的问题往往特别有效.

2.用"分析--综合法"证明问题

既然是分析--综合法,所以既有分析法又有综合法,两者应有机地结合起来."分析--综合法"又叫混合型分析法,是同时从已知条件与结论出发,寻求其间的联系而沟通思路的方法.具体来说,一方面从问题的已知条件出发,用前进型分析法经逻辑推理导出中途结果;另一方面从问题的结论出发,用追溯型分析法回溯到中间,即导出同一个中间结果,从而沟通思路使问题得到解决.由于其兼有分析综合的双重性质,因而称为"分析--综合法",其方法结构如图所示.

高手支招4典例精析

【例1】设a＞0,b＞0,a+b=1.求证:++≥8.

思路分析：要证不等式是在已知条件下,从不等式的结构及其与已知条件间的关系来观察,可用综合法证之.

证明：∵a＞0,b＞0,a+b=1,∴1=a+b≥2,∴≤,∴≥4.

∴++=(a+b)(+)+≥2·2+4=8,

∴++≥8.

【例2】已知α、β≠kπ+(k∈Z),且sinθ+cosθ=2sinα,sinθ·cosθ=sin2β.

求证:.

思路分析：比较已知条件和结论,发现结论中没有出现角θ,所以首先要消去它.然后由式子的结构特点,将切化弦统一函数名后分析比较不难得到结论.

证明：因为(sinθ+cosθ)2-2sinθ·cosθ=1,

将已知代入上式得:4sin2α-2sin2β=1.①

另一方面,要证,