即证,

即证cos2α-sin2α=(cos2β-sin2β),

即证1-2sin2α=(1-2sin2β),即证4sin2α-2sin2β=1.

由于上式与①式相同,于是问题得证.

【例3】 已知x+y+z=1,求证:x2+y2+z2≥.

思路分析：可由条件x+y+z=1,联想到通过直接对所要证明的结论左边的代数式的变式,再利用条件x+y+z=1,得到结果.若不能发现本题的特点,可以利用分析法来加以证明.

证法一(综合法):∵x2+y2+z2=［3(x2+y2+z2)］

=［x2+y2+z2+(x2+y2)+(y2+z2)+(z2+x2)］≥(x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx)=(x+y+z)2=,

∴x2+y2+z2≥.

证法二(分析法):∵x+y+z=1,为了证明x2+y2+z2≥,

只需证明3x2+3y2+3z2≥(x+y+z)2,

即3x2+3y2+3z2≥x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx,

即2x2+2y2+2z2≥2xy+2yz+2zx,

即(x2-2xy+y2)+(y2-2xy+z2)+(z2-2zx+x2)≥0,

即(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2≥0.

∵(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2≥0成立,

∴x2+y2+z2≥成立.

【例4】已知正方形ABCD,E、F分别是AB、CD的中点,将△ADE沿DE折起,如图所示.记二面角A-DE-C的大小为θ(0＜θ＜π).

(1)证明BF∥平面ADE;

(2)若△ACD为正三角形,试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上,证明你的结论,并求角θ的余弦值.

思路分析：本题主要考查空间中的线面关系、解三角形等基础知识,考查空间想象能力和思维能力.

(1)解：证明：E、F分别是正方形ABCD的边AB、CD的中点,

∴EB∥FD,且EB=FD.