(2)假设n=k(k≥2,k∈N+)时等式成立,即:
...(1-)=
当n=k+1时,...
=
=·==.
∴当n=k+1时,等式也成立,由(1)(2)知,对任意n≥2,n∈N+等式成立.
利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点:一是要准确表述n=n0时命题的形式,二是要准确把握由n=k到n=k+1时,命题结构的变化特点.并且一定要记住:在证明n=k+1成立时,必须使用归纳假设.
1.在用数学归纳法证明,对任意的正偶数n,均有
1-+-+...+-=2
成立时,
(1)第一步检验的初始值n0是什么?
(2)第二步归纳假设n=2k时(k∈N+)等式成立,需证明n为何值时,方具有递推性;
(3)若第二步归纳假设n=k(k为正偶数)时等式成立,需证明n为何值时,等式成立.
解:(1)n0为2.此时左边为1-,右边为2×=.
(2)假设n=2k(k∈N+)时,等式成立,就需证明n=2k+2(即下一个偶数)时,命题也成立.