2019-2020学年北师大版选修2-2 函数的最大(小)值与导数 学案
2019-2020学年北师大版选修2-2     函数的最大(小)值与导数     学案第3页

∴当x=0时,f(x)有最小值f(0)=0;

当x=2π时,f(x)有最大值f(2π)=π.

反思与感悟 (1)求函数的最值,显然求极值是关键的一环.但仅仅是求最值,可用下面简化的方法求得.

①求出导数为零的点.

②比较这些点与端点处函数值的大小,就可求出函数的最大值和最小值.

(2)若函数在闭区间a,b]上连续且单调,则最大、最小值在端点处取得.

跟踪训练1 求下列函数的最值:

(1)f(x)=x3-4x+4,x∈0,3];

(2)f(x)=ex(3-x2),x∈2,5].

解 (1)∵f(x)=x3-4x+4,

∴f′(x)=x2-4.

令f′(x)=0,得x1=-2,x2=2.

∵f(2)=-,f(0)=4,f(3)=1,

∴函数f(x)在0,3]上的最大值为4,最小值为-.

(2)∵f(x)=3ex-exx2,

∴f′(x)=3ex-(exx2+2exx)=-ex(x2+2x-3)

=-ex(x+3)(x-1),

∵在区间2,5]上,f′(x)=-ex(x+3)(x-1)<0,

即函数f(x)在区间2,5]上单调递减,

∴x=2时,函数f(x)取得最大值f(2)=-e2;

x=5时,函数f(x)取得最小值f(5)=-22e5.

探究点二 含参数的函数的最值问题

例2 已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a).

(1)若f′(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.

(2)求f(x)在区间0,2]上的最大值.

解 (1)f′(x)=3x2-2ax.

因为f′(1)=3-2a=3,

所以a=0.又当a=0时,f(1)=1,f′(1)=3,

所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为3x-y-2=0.