2019-2020学年北师大版选修2-2 函数的最大(小)值与导数 学案
2019-2020学年北师大版选修2-2     函数的最大(小)值与导数     学案第2页

最大值和最小值,且最值必在端点处或极值点处取得.

思考3 函数的极值和最值有什么区别和联系?

答 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的,函数的极值可以有多个,但最值只能有一个;极值只能在区间内取得,最值则可以在端点处取得;有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点处取得必定是极值,所以在开区间(a,b)上若存在最值,则必是极值.

小结 求一个函数在闭区间上的最值步骤:

1.求导,确定函数在闭区间上的极值点.

2.求出函数的各个极值和端点处的函数值.

3.比较大小,确定结论.

例1 求下列函数的最值:

(1)f(x)=2x3-12x,x∈-2,3];

(2)f(x)=x+sin x,x∈0,2π].

解 (1)f(x)=2x3-12x,

∴f′(x)=6x2-12=6(x+)(x-),

令f′(x)=0,解得x=-或x=.

当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:

x (-∞,-) - (-,) (,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增( 极大值 单调递减( 极小值 单调递增( 所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-),(,+∞),单调递减区间为(-,).

因为f(-2)=8,f(3)=18,f()=-8,

f(-)=8;

所以当x=时,f(x)取得最小值-8;

当x=3时,f(x)取得最大值18.

(2)f′(x)=+cos x,令f′(x)=0,又x∈0,2π],

解得x=π或x=π.

计算得f(0)=0,f(2π)=π,f(π)=+,

f(π)=π-.