2019-2020学年人教B版选修2-2 第一章 导数及其应用 章末复习课 学案
2019-2020学年人教B版选修2-2      第一章 导数及其应用   章末复习课 学案第2页

∴a的值为.

题型二 导数与函数的单调性

求解函数y=f(x)单调区间的步骤:

(1)确定函数y=f(x)的定义域;

(2)求导数y′=f′(x);

(3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为增区间;

(4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为减区间.

特别要注意定义域,写单调区间时,区间之间用"和"或","隔开,绝对不能用"∪"连接.

例2 求下列函数的单调区间:

(1)f(x)=(x-3)ex,x∈(0,+∞);

(2)f(x)=x(x-a)2.

解 (1)f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,

令f′(x)>0,解得x>2,又x∈(0,+∞),

∴函数的单调增区间为(2,+∞),函数的单调减区间为(0,2).

(2)函数f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x的定义域为R,

由f′(x)=3x2-4ax+a2=0,得x1=,x2=a.

①当a>0时,x1

∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞,),(a,+∞),

单调递减区间为(,a).

②当a<0时,x1>x2,

∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞,a),(,+∞),

单调递减区间为(a,).

③当a=0时,f′(x)=3x2≥0,∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),即f(x)在R上是单调递增的.

综上,a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,),(a,+∞),单调递减区间为(,a);

a<0时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,a),(,+∞),单调递减区间为(a,);

a=0时,函数f(x)的单调递增区间是(-∞,+∞).