因为x＞0，所以2x＋≥2，

　　得－≤－2，

　　因此f(x)≤1－2，

　　当且仅当2x＝，即x2＝时，式子中的等号成立．

　　由于x＞0，因而x＝时，等号成立．

　　因此f(x)max＝1－2，此时x＝.

利用平均值不等式求最值 　　

　　[例2]　已知x为正实数，求函数y＝x(1－x2)的最大值．

　　[思路点拨]　本题考查三个正数的算术-几何平均不等式在求最值中的应用．解答本题要根据需要拼凑出利用其算术-几何平均不等式的条件，然后再求解．

　　[精解详析]　∵y＝x(1－x2)，

　　∴y2＝x2(1－x2)2＝2x2(1－x2)(1－x2)·.

　　∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，

　　∴y2≤3＝.

　　当且仅当2x2＝1－x2＝1－x2，即x＝时取"＝"号．

　　∴y≤.

　　∴y的最大值为.

　　(1)利用三个正数的算术-几何平均不等式定理求最值，可简记为"积定和最小，和定积最大"．

　　(2)应用算术-几何平均不等式定理，要注意三个条件即"一正二定三相等"同时具备时，函数方可取得最值．其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．

　　(3)当不具备使用平均不等式定理的条件时，求函数的最值可考虑利用函数的单调性．

2．已知x为正实数，求函数y＝x2·(1－x)的最大值．