解：y＝x2(1－x)＝x·x(1－x)

　　＝x·x·(2－2x)×

　　≤3＝×＝.

　　当且仅当x＝2－2x，即x＝时取等号．

　　此时，ymax＝.

利用平均值不等式解应用题 　　

　　[例3]　已知圆锥的底面半径为R，高为H，求圆锥的内接圆柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积．

　　[思路点拨]　本题考查算术-几何平均不等式在实际问题中的应用，解答本题需要作出圆锥、圆柱的轴截面，利用相似三角形建立各元素之间的关系，然后利用算术-几何平均不等式求最大值．

　　[精解详析]　

　　设圆柱体的底面半径为r，如图，由相似三角形的性质可得

　　＝，

　　∴r＝(H－h)．

　　∴V圆柱＝πr2h＝(H－h)2h(0＜h＜H)．

　　根据平均不等式可得

　　V圆柱＝···h≤3

　　＝πR2H.

　　当且仅当＝h，即h＝H时，V圆柱最大＝πR2H.

　　(1)在解求最值应用题时，先必须确定好目标函数，再用"平均值不等式"求最值．

　　(2)在确定目标函数时，必须使函数成为一元函数，即只能含一个变量，否则是无法求最值的．

3．如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最