小由|λ|·|a|确定.

②它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小.

③略.

④定理a是一个非零向量,若存在一个实数λ,使得b=λa,则向量b与非零向量a共线.

定理若向量b与非零向量a共线,则存在一个实数λ,使得b=λa.

⑤向量的平行与直线的平行是不同的,直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点;而向量的平行既包含没有交点的情况,又包含两个向量在同一条直线上的情形.

应用示例

思路1

1.设a,b为向量,计算下列各式:

(1)-×3a;

(2)2(a-b)-(a+b);

(3)(2m-n)a-mb-(m-n)(a-b)(m,n为实数).

活动:本例是数乘运算的简单应用,可让学生自己完成,要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律.教学中,点拨学生不能将本题看作字母的代数运算,可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义,使学生明确向量数乘运算的特点.同时向学生点出,向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a、b,以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.

解:(1)原式=(-×3)a=-a;

(2)原式=2a-2b-a-b=(2a-a)-(2b+b)=a-b;

(3)原式=2ma-na-mb-m(a-b)+n(a-b)

=2ma-na-mb-ma+mb+na-nb

=ma-nb.

点评:运用向量运算的运算律,解决向量的数乘.其运算过程可以仿照多项式运算中的"合并同类项".

变式训练

若3m+2n=a,m-3n=b,其中a,b是已知向量,求m,n.

解:∵3m+2n=a,①m-3n=b.②3×②,得3m-9n=3b.③①-③,得11n=a-3b.

∴n=a-b.④

将④代入②,有m=b+3n=a+b.

点评:此题可把已知条件看作向量m、n的方程,通过方程组的求解获得m、n.在此题求解过程中,利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律,从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.

例2 如图2,已知任意两个非零向量a、b,试作=a+b,=a+2b,=a+3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么?

图2