题型一 面积、体积的最值问题

例1、请你设计一个包装盒，如图139，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．

　　图139

(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？

(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

【自主解答】 设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.

由已知得a＝x，h＝2(60－2x)＝(30－x)，0＜x＜30.

(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，

所以当x＝15时，S取得最大值．

(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．

由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.

当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.

所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．

此时a(h)＝2(1)，即包装盒的高与底面边长的比值为2(1).

总结：

1．解决面积、体积最值问题的思路

要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．

2．解决优化问题时应注意的问题

(1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域；

(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是