答案:.

例3分别求点P(a,b,c)关于坐标平面、坐标轴、坐标原点的对称点的坐标.

图2-3-2

思路分析:要认真考虑各情况下的对称点应具有的性质,进而得出对称点与点P的关系.

解：如图2-3-2所示,点P(a,b,c)关于原点的对称点为P′(x,y,z),则PP′的中点为(0,0,0),故点P(a,b,c)关于原点的对称点为(-a,-b,-c).

点P(a,b,c)关于xOy平面的对称点为P′,则直线PP′垂直于xOy平面,直线上的点的坐标满足x=a,y=b,且线段PP′的中点在xOy平面内(z=0),故点P(a,b,c)关于xOy平面的对称点为(a,b,-c).类似地,点P(a,b,c)关于yOz平面的对称点为(-a,b,c),关于zOx平面的对称点为(a,-b,c).

点P(a,b,c)关于y轴的对称点为P′(如图332),线段PP′被y轴垂直平分,过点P作与y轴垂直的平面,与y轴相交于Q(0,b,0),PQ⊥y轴,PP′中点为Q,故点P(a,b,c)关于y轴的对称点为P′(-a,b,-c).

类似地,点P(a,b,c)关于x轴的对称点为P′(a,-b,-c),点P(a,b,c)关于z轴的对称点为P′(-a,-b,c).

绿色通道:记忆方法："关于谁谁不变，其余的则相反"，如：关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面对称的点，横、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数.

变式训练已知一长方体ABCD-A1B1C1D1的对称中心在坐标原点O，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A（-2，-3，-1）.求其他七个顶点的坐标.

分析：根据"关于谁谁不变，其余的则相反"的规律顺次写出，如：A、B是关于xOz坐标平面对称的点，横、竖坐标不变，纵坐标变为原来的相反数.

答案:B（-2，3，-1），C（2，3，-1），D（2，-3，-1），A1（-2，-3，1），B1（-2，3，1），C1（2，3，1），D1（2，-3，1）.

例4在三棱锥A-BCD中,AC=AB=DC=DB=2,AD=BC=1,求该三棱锥的体积.

思路分析:三棱锥的六条棱长都已知,且比较特殊,我们不难求得△ACB的面积,但点D在面ABC内的射影位置不明显,三棱锥的高比较难求.于是,我们以点A为原点,面ABC所在平面为xOy面,将AB置于Ox轴正半轴上,建立空间直角坐标系,问题便转化为求点D的坐标,而这不难用两点间的距离公式求解.

图2-3-3

解:以点A为原点,面ABC所在平面为xOy面,将AB置于Ox轴的正半轴上,建立如图2-3-