复习课(三) 数系的扩充与复数的引入
复数的概念
(1)复数的概念是学习复数的基础,是考试的重要的考查内容之一,一般以选择题或填空题形式出现,难度较小.
(2)解答此类问题的关键是明确复数相关概念.
1.复数是实数的充要条件
(1)z=a+bi(a,b∈R)∈R⇔b=0.
(2)z∈R⇔z=.
(3)z∈R⇔z2≥0.
2.复数是纯虚数的充要条件
(1)z=a+bi(a,b∈R)是纯虚数⇔a=0,且b≠0.
(2)z是纯虚数⇔z+=0(z≠0).
(3)z是纯虚数⇔z2<0.
3.复数相等的充要条件
a+bi=c+di⇔(a,b,c,d∈R).
[典例] (1)(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题:
p1:若复数z满足∈R,则z∈R;
p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;
p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=2;
p4:若复数z∈R,则∈R.
其中的真命题为( )
A.p1,p3 B.p1,p4
C.p2,p3 D.p2,p4
(2)(2017·天津高考)已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为________.
[解析] (1)设复数z=a+bi(a,b∈R),对于p1,∵==∈R,∴b=0,∴z∈R,∴p1是真命题;