[提示]　根据等差数列的定义，利用an＋1－an是否是与n无关的常数作答．

　　[尝试解答]　(1)证明：∵an＋1－an＝3(n＋1)－3n＝3，

　　∴数列{an}为等差数列．

　　(2)若{an}为等差数列，

　　则an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)

　　＝2pn＋p＋q是一个与n无关的常数．

　　∴只有2p＝0.

　　即p＝0时，an＋1－an是一个与n无关的常数．

　　∴当p＝0，q∈R时，数列{an}为等差数列．

　　1．利用等差数列的定义an＋1－an＝d(常数)，可直接对一个数列是否为等差数列作出判断．

　　2．若一个数列{an}的通项公式为an＝pn＋q(p、q为常数)，则此数列必为等差数列，其公差为d＝p.

　　练一练

　　1．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝an＋2(n∈N＋)，求a5＝的值．

　　解：∵an＋1＝an＋2(n∈N＋)，即an＋1－an＝2.

　　∴数列{an}是以2为公差的等差数列．

　　∴a5＝a1＋4d＝1＋4×2＝9.

　　讲一讲

　　2．(1)已知等差数列1，－3，－7，－11，...，求它的通项公式及第20项；

　　(2)若等差数列{an}中，a5＝10，a12＝31，求该数列的首项与公差．

　　[提示]　(1)由等差数列的首项与第二项，可得公差，从而可得通项公式，进而求得第20项；

　　(2)利用等差数列的通项公式，列方程组求解．

　　[尝试解答]　(1)可知a1＝1，a2＝－3，

　　∴公差d＝a2－a1＝－4.

　　∴an＝a1＋(n－1)d＝1－4(n－1)＝5－4n.

　　∴a20＝5－4×20＝－75.

　　即该数列的通项公式为an＝5－4n，第20项为－75.

　　(2)设数列{an}的公差为d

　　法一：由得

　　解得

　　法二：由a12＝a5＋(12－5)d，得公差d＝＝＝3，

　　∴首项a1＝a5－4d＝10－12＝－2.

在解答有关等差数列的基本问题时，