类型一　用数学归纳法证明等式

例1　用数学归纳法证明＋＋＋...＋＋＝1－(n∈N＋)．

证明　(1)当n＝1时，左边＝，右边＝1－＝，等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，

即＋＋...＋＝1－.

当n＝k＋1时，

＋＋...＋＋＝1－＋＝1－，

即当n＝k＋1时，等式也成立．

由(1)(2)可知，原等式对n∈N＋均成立．

反思与感悟　利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设．

跟踪训练1　用数学归纳法证明1＋22＋32＋...＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)(n∈N＋)．

证明　(1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝＝1，等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，

即12＋22＋32＋...＋k2＝.

当n＝k＋1时，12＋22＋32＋...＋k2＋(k＋1)2

＝＋(k＋1)2＝

＝＝.

所以当n＝k＋1时等式也成立．

由(1)(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立．

类型二　证明与整除有关的问题

例2　求证：x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除．

证明　(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)能被x＋y整除．

(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，x2k－y2k能被x＋y整除，