【分析】本题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力．

【解析】(1)由已知得f′(x)＝3x2－a.

∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，

∴f′(x)＝3x2－a≥0在R上恒成立．

∵3x2≥0，∴a≤0.

又a＝0时，f′(x)＝3x2≥0(只有x＝0时，f′(x)＝0)，

∴此时f(x)＝x3－1在R上仍为单调递增函数，

∴a≤0.

(2)证明：∵f(－1)＝a－2

∴f(x)的图象不可能总在直线y＝a上方．

【评析】f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是f(x)在某区间上单调的充分条件．本题应用f(x)在(a，b)上单调的充要条件f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.

变式训练2 已知函数f(x)＝x3－ax－1，是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

[解析]　存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减．

假设存在，则f′(x)＝3x2－a≤0，在(－1,1)上恒成立．

即a≥3x2在x∈(－1,1)上恒成立．

∴a≥3.

【课堂小结】

1．在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过