平分,若存在,求出l的倾斜角的范围;若不存在,请说明理由。
(1)解:依题意e ,
∴a=3,c=2,b=1,
又F1(0,-2),对应的准线方程为
∴椭圆中心在原点,所求方程为
(2)假设存在直线l,依题意l交椭圆所得弦MN被平分
∴直线l的斜率存在。 设直线l:y=kx+m
由消去y,整理得 (k2+9)x2+2kmx+m2-9=0
∵l与椭圆交于不同的两点M、N,
∴Δ=4k2m2-4(k2+9)(m2-9)>0 即m2-k2-9<0 ①
设 M(x1,y1),N(x2,y2) ②
把②代入①式中得,
∴k>或k<-
∴直线l倾斜角
第二十二讲圆锥曲线中的最值和范围问题(二)
【例5】长度为()的线段的两个端点、分别在轴和轴上滑动,点在线段上,且(为常数且).
(1)求点的轨迹方程,并说明轨迹类型;
(2)当=2时,已知直线与原点O的距离为,且直线与轨迹有公共点,求直线的斜率的取值范围.
答案:(1)设、、,则
,由此及,得
,即 (*)
①当时,方程(*)的轨迹是焦点为,长轴长为的椭圆.