1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.1 函数的单调性与导数
1.理解导数与函数的单调性的关系. 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.
3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.
1.函数的单调性与其导数正负的关系
定义在区间(a,b)内的函数y=f(x)
f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
一般地,设函数y=f(x),在区间(a,b)上
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较"陡峭"
(向上或向下) 越小 慢 比较"平缓"
1.从导数的几何意义理解单调性与导数符号的关系
(1)如果f′(x)>0,即切线的斜率为正,则切线的倾斜角为锐角,曲线呈上升趋势,即函数单调递增.
(2)如果f′(x)<0,即切线的斜率为负,则切线的倾斜角为钝角,曲线呈下降趋势,即函数单调递减.
(3)如果f′(x)=0恒成立,则切线的斜率为0,切线的倾斜角为0,图象没有上升或下降的趋势,该函数为常数函数.
2.导数与函数图象的关系
图象
f′(x)
变化
规律 f′(x)>0
且越来
越大 f′(x)>0
且越来
越小 f′(x)<0
且越来
越小 f′(x)<0
且越来
越大