探究1 事件独立性的判断
例1 判断下列各对事件是不是相互独立事件:
(1)甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,"从甲组中选出1名男生"与"从乙组中选出1名女生";
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,"从8个球中任意取出1个,取出的是白球"与"从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球";
(3)掷一颗骰子一次,"出现偶数点"与"出现3点或6点".
[解] (1)"从甲组中选出1名男生"这一事件是否发生,对"从乙组中选出1名女生"这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互独立事件.
(2)"从8个球中任意取出1个,取出的是白球"的概率为,若这一事件发生了,则"从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球"的概率为,若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为.可见,前一事件是否发生,对后一事件发生的概率有影响,所以两者不是相互独立事件.
(3)记A:出现偶数点,B:出现3点或6点,则A={2,4,6},B={3,6},AB={6},∴P(A)==,P(B)==,P(AB)=,
∴P(AB)=P(A)·P(B),
∴事件A与B相互独立.
拓展提升
(1)利用相互独立事件的定义(即P(AB)=P(A)·P(B))可以准确地判定两个事件是否相互独立,这是用定量计算方法,较准确,因此我们必须熟练掌握.
(2)判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析,即看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响.没有影响就是相互独立事件,有影响就不是相互独立事件.
一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令A={一个家庭中既有男孩又有女孩},B={一个家庭中最多有一个女孩}.对下述两种情形,讨论A与B的独立性: