例1．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长．

分析：观察图，正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果能证明x轴是它们公共的对称轴，则容易求出三角形边长．

解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为、，则 ，

又|OA|＝|OB|，所以

即

∵　，∴　．

由此可得，即线段AB关于x轴对称．

因为x轴垂直于AB，且∠AOx＝30°，所以

所以，

例2．过抛物线y＝的焦点作倾斜角为α的直线l与抛物线交于A、B两点，且|AB|=8，求倾斜角α．

解：抛物线标准方程为x2＝－4y，则焦点F（0,-1）

⑴ 当α＝90°时，则直线l：x＝0（不合题意，舍去）

⑵ 当α≠90°时，设k＝tanα，则直线l：y+1＝kx；即y=kx-1．与x2＝－4y联立，消去y得：x2＋4kx-4=0

则x1+x2= －4k； x1x2= －4；

∴＝

∴=＝4（1+k2）＝8

∴k＝±1

∴α＝45°或135°

例3．已知抛物线方程为，直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值．

解：设与抛物线交于

由弦长公式

|AB|===3

则有

由

从而由于p>0，解得