12.(2018辽宁,20,12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线C1:-=1过点P且离心率为.

(1)求C1的方程;

(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.

解析　(1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-,切线方程为y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=··=.由+=4≥2x0y0知当且仅当x0=y0=时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为(,).

由题意知解得a2=1,b2=2,

故C1的方程为x2-=1.

(2)由(1)知C2的焦点坐标为(-,0),(,0),由此设C2的方程为+=1,其中b1>0.

由P(,)在C2上,得+=1,

解得=3,因此C2的方程为+=1.

显然,l不是直线y=0.设l的方程为x=my+,点A(x1,y1),B(x2,y2),由

得(m2+2)y2+2my-3=0,又y1,y2是方程的根,

因此

由x1=my1+,x2=my2+,得

因=(-x1,-y1),=(-x2,-y2),

由题意知·=0,

所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0.⑤

将①,②,③,④代入⑤式整理得

2m2-2m+4-11=0,

解得m=-1或m=-+1. 因此直线l的方程为

x-y-=0或x+y-=0.

考点二　双曲线的几何性质

1.(2018课标全国Ⅱ,11,5分)已知F1,F2是双曲线E:-=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为(　　)

A. B. C. D.2

答案　A

2.(2018浙江,7,5分)已知椭圆C1:+y2=1(m>1)与双曲线C2:-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则(　　)

A.m>n且e1e2>1 B.m>n且e1e2<1

C.m1 D.m

答案　A

3.(2018课标Ⅰ,5,5分)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若·<0,则y0的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

答案　A

4.(2018课标全国Ⅰ,15,5分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为　　　　.

答案　

5.(2018北京,9,5分)若双曲线x2-=1的离心率为,则实数m=　　　　.

答案　2

6.(2018山东,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为　　　　.