≥k＋3＝(k＋1)＋2，

　　也就是说，当n＝k＋1时，ak＋1≥(k＋1)＋2.

　　综上可得，对于所有n≥1，有an≥n＋2.

　　②由an＋1＝an(an－n)＋1及①，对k≥2，有

　　ak＝ak－1(ak－1－k＋1)＋1≥ak－1(k－1＋2－k＋1)＋1

　　＝2ak－1＋1≥2·(2ak－2＋1)＋1＝22ak－2＋2＋1

　　≥23ak－3＋22＋2＋1≥...

　　∴ak≥2k－1a1＋2k－2＋...＋2＋1＝2k－1a1＋2k－1－1＝2k－1(a1＋1)－1，

　　于是1＋ak≥2k－1(a1＋1)，≤·，k≥2.

　　∴＋＋...＋

　　≤＋

　　＝

　　＝·＜≤＝.

　　因此，原不等式成立.

　　[再练一题]

　　2.对于一切正整数n，先猜出使tn＞n2成立的最小的正整数t，然后用数学归纳法证明，并再证明不等式：n(n＋1)·＞lg(1·2·3·...·n).

　　【导学号：38000064】

　　【解】　猜想当t＝3时，对一切正整数n使3n＞n2成立.下面用数学归纳法进行证明.

　　当n＝1时，31＝3＞1＝12，命题成立.

　　假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，3k＞k2成立，

　　则有3k≥k2＋1.

　　对n＝k＋1,3k＋1＝3·3k＝3k＋2·3k

　　≥k2＋2(k2＋1)＞3k2＋1.

∵(3k2＋1)－(k＋1)2＝2k2－2k＝2k(k－1)≥0，