解析:在△PF1F2中,由正弦定理得 ("|" PF_2 "|" )/(sin∠PF_1 F_2 )=("|" PF_1 "|" )/(sin∠PF_2 F_1 ).

　　因为 a/(sin∠PF_1 F_2 )=c/(sin∠PF_2 F_1 ),所以 a/("|" PF_2 "|" )=c/("|" PF_1 "|" ),即|PF1|=c/a|PF2|.

　　由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a,得 c/a|PF2|+|PF2|=2a,即|PF2|=(2a^2)/(c+a).

　　根据椭圆的简单性质知|PF2|0,所以e2+2e-1>0,解得e<-√2-1或e>√2-1.

　　又e∈(0,1),故椭圆离心率的取值范围是(√2-1,1).

答案:(√2-1,1)

9.已知椭圆 x^2/a^2 +y^2/b^2 =1(a>b>0)与直线x+y=1交于A,B两点,|AB|=(4√2)/3,AB的中点M与椭圆中心连线的斜率为 1/2,求椭圆的方程.

解设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),由{■(x^2/a^2 +y^2/b^2 =1"," @x+y=1"," )┤消去y,得(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0,0①

　　∴x1+x2=(2a^2)/(a^2+b^2 ).

　　∴x0=(x_1+x_2)/2=a^2/(a^2+b^2 ),y0=1-x0=b^2/(a^2+b^2 ).

　　∵kOM=1/2,且kOM=y_0/x_0 =b^2/a^2 ,∴b^2/a^2 =1/2,即a2=2b2.

　　代入①化简整理,得3x2-4x+2-2b2=0,

　　∴x1+x2=4/3,x1x2=(2"-" 2b^2)/3,且Δ=(-4)2-4×3×(2-2b2)=24b2-8>0.0②

　　由|AB|=√(1+k^2 )|x1-x2|=√("[" 1+"(-" 1")" ^2 "][(" x_1+x_2 ")" ^2 "-" 4x_1 x_2 "]" )=√(2[(4/3)^2 "-" 4×(2"-" 2b^2)/3] )=(4√2)/3,

　　解得b2=1,代入②检验满足条件,所以a2=2.

　　故所求椭圆的方程为 x^2/2+y2=1.

10.已知椭圆C1:x^2/4+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.

(1)求椭圆C2的方程;

(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,(OB) ⃗=2(OA) ⃗,求直线AB的方程.