1.3.3 函数的最大(小)值与导数

1.A [解析] f(x)=x+2cos x,x∈,则f'(x)=1-2sin x>0,所以f(x)在上为增函数,故f(x)的最小值为f=-,故选A.

2.A [解析] ∵f(x)在x=处有最值,∴x=是函数f(x)的极值点.

又∵f'(x)=acos x+cos 3x,∴f'=acos +cos π=0,解得a=2.

3.C [解析] 令y'===0,得x=±1.

当x变化时,y',y的变化情况如下表:

x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞) y' - 0 + 0 - y ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘

由上表及函数的图像(图略)易知,当x=-1时,y取得极小值也是最小值,即为-2;当x=1时,y取得极大值也是最大值,即为2.

4.A [解析] f'(x)=ex-1,令f'(x)>0,解得x>0,令f'(x)<0,解得x<0,

故f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故f(x)min=f(0)=1+a.

若f(x)>0恒成立,则1+a>0,解得a>-1,故选A.

5.D [解析] 由f(x)>0得0

f'(x)=(2-x2)ex,

令f'(x)=0,得x=±,

当x<-或x>时,f'(x)<0,

当-0,

∴当x=-时,f(x)取得极小值,

当x=时,f(x)取得极大值,故②正确.

当x→-∞时,f(x)<0,当x→+∞时,f(x)<0,

结合函数的单调性可知,

函数f(x)有最大值无最小值,故③不正确.

6.A [解析] 构造函数F(x)=x2f(x),

则F'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[2f(x)+xf'(x)].

当x>0时,F'(x)>x3>0,F(x)单调递增;

当x<0时,F'(x)

所以F(x)=x2f(x)在x=0处取最小值,

从而F(x)=x2f(x)≥F(0)=0,故选A.