9如图,四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N分别为PC,AB的中点,求证:MN⊥平面PCD.

分析设(AP) ⃗=a,(AB) ⃗=b,(AD) ⃗=c,则{a,b,c}为基底,利用a,b,c把(MN) ⃗,(DC) ⃗,(PD) ⃗表示出来,证明(MN) ⃗⊥(DC) ⃗,(MN) ⃗⊥(PD) ⃗,即可证明MN⊥平面PCD.

证明设(AP) ⃗=a,(AB) ⃗=b,(AD) ⃗=c,

　　则{a,b,c}为空间的一个基底,

　　则(MN) ⃗=(AN) ⃗-(AM) ⃗=1/2 (AB) ⃗-1/2((AP) ⃗+(AC) ⃗)=1/2b-1/2(a+b+c)=-1/2(a+c).

　　因为PA⊥矩形ABCD,

　　所以PA⊥AB,PA⊥AD,且AB⊥AD.

　　所以a·b=0,b·c=0,c·a=0.

　　所以(MN) ⃗·(DC) ⃗=-1/2(a+c)·b=0,

　　(MN) ⃗·(PD) ⃗=-1/2(a+c)·(c-a)

　　=-1/2(|c|2-|a|2)

　　=-1/2(|(AD) ⃗|2-|(AP) ⃗|2)=0.

　　所以MN⊥DC,MN⊥PD.又DC∩PD=D,

　　所以MN⊥平面PCD.

能力提升

1四边形ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,则下列等式①(PA) ⃗·(AB) ⃗=0;②(PC) ⃗·(BD) ⃗=0;③(PA) ⃗·(CD) ⃗=0;④(PC) ⃗·(AB) ⃗=0中成立的等式个数为(　　)

A.1 B.2

C.3 D.4

答案:C

2已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是(　　)