2019-2020学年北师大版选修1-1 导数在函数研究中的应用 教案

　　知识点一　利用导数研究函数的单调性

　　1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系

　　(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间上是增加的．

　　(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间上是减少的．

　　(3)若f__′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数．

　　2．利用导数判断函数单调性的一般步骤

　　(1)求f__′(x)．

　　(2)在定义域内解不等式f__′(x)>0或f__′(x)<0.

　　(3)根据结果确定f(x)的单调区间．

　　易误提醒　

　　1．在某个区间(a，b)上，若f　′(x)>0，则f(x)在这个区间上单调递增；若f　′(x)<0，则f(x)在这个区间上单调递减；若f　′(x)＝0恒成立，则f(x)在这个区间上为常数函数；若f　′(x)的符号不确定，则f(x)不是单调函数．

　　2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f　′(x)≥0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f　′(x)≤0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立．

　　[自测练习]

　　1．函数f(x)＝x＋eln x的单调递增区间为(　　)

　　A．(0，＋∞) B．(－∞，0)

　　C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．R

　　解析：函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋>0，故单调增区间是(0，＋∞)．

　　答案：A

　　2．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________．

　　解析：∵f(x)＝x3＋x2＋mx＋1，

　　∴f′(x)＝3x2＋2x＋m.

又∵f(x)在R上是单调增函数，∴f′(x)≥0恒成立，∴Δ＝4－12m≤0，即m≥.