数学归纳法(2)

【学情分析】：

　　数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法，在证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题时，数学归纳法往往是非常有用的研究工具，它通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形。本节课是在上节课的基础上进上步熟悉数学归纳法的证题原理及步骤。

【教学目标】：

（1）知识与技能：理解"归纳法"和"数学归纳法"的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用"数学归纳法"证明与正整数有关的数学命题。

（2）过程与方法：初步掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。

（3）情感态度与价值观：培养学生对于数学内在美的感悟能力。

【教学重点】：

进一步巩固对数学归纳法的基本思想的认识，掌握它的基本步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)，运用它证明一些与正整数有关的数学命题。

【教学难点】：

如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设。

【教学过程设计】：

教学环节 教学活动 设计意图 一、

复习

回顾 数学归纳法的主要步骤及其适用范围

　　(1)（归纳奠基）证明当n取第一值n0 (例如n0=1，n0=2等)时命题成立；

　　(2)（归纳递推）假设n=k(k∈N* 且k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

那么，对n≥n0 的一切自然数n命题都成立。

数学归纳法多用于证与正整数有关的数学问题。 二、

应用 1. 例2 用数学归纳法证明

　　证明：（1）当n=1时，左边=1,

　　 右边=，所以等式成立。

　　（2）假设当n=k时等式成立，即

那么，当n=k+1时，

即当n=k+1时等式也成立。

综合(1)(2)可知，等式对任何都成立。

2. 例3

已知数列，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明。

解：；

猜想：

证明：（1）当n=1时，左边=

右边=，猜想成立。

（2）假设当n=k时猜想成立，即

　　那么，

所以，当n=k+1时猜想也成立。

综合(1)(2)知，猜想对任何都成立。 详细板书证明过程

强调：在证明n=k+1时一定要用到假设，整理过程中如何减少运算量，将待证目标式摆到草稿纸上，对应目标化简整理。

进一步巩固数学归纳法的证题步骤及思路。