【例5】设a,b∈(0,+∞)且=1，求证 对于任何n∈N*,有(a+b)n-an-bn≥22n-2n+1成立.

证明 ①n=1时，原不等式显然成立；

②设n= 时原不等式成立，

即（a+b） -a -b ≥22 -2 +1,

则n= +1时，（a+b） +1-a +1-b +1

=(a+b)［(a+b) -a -b ］+ab +a b≥(a+b)(22 -2 +1)+ab +a b,

由1=≥,可得ab≥4,a+b≥≥4.

∴ab +a b≥2=2 +2.

∴(a+b) +1-a +1-b +1≥(a+b)(22 -2 +1)+ab +a b≥4(22 -2 +1)+2 +2=22( +1)-2( +1)+1,

即n= +1时原不等式成立.

由①②可知对于任何n∈N*原不等式成立.

温馨提示

①得到（a+b）［(a+b) -a -b ］是过渡成功的一半.

②问题化归为求关于a,b的二元函数在条件=1

下的最小值问题后，若注意到原不等式"="成立的条件为a=b=2,则容易想到上述过程.

【例6】正项数列{xn}中，对于任何n∈N*，xn2≤xn-xn+1恒成立.求证 对于任何n∈N*,xn<恒成立.

证明 ①n=1时，由x1-x12≥x2>0解得0

②设n= 时原不等式成立，即0

（1）0

(2)

由（1）,（2）可知n= +1时原不等式成立.

由①②可知对于任何n∈N*,xn<成立.