a1a2...a a +1>a1a2...a +a +1-1(*)成立.

要证明不等式（*）成立，只需证明

(a1a2...a -1)(a +1-1)>0.

又∵0

∴0

∴(a1a2...a -1)(a +1-1)>0成立.

∴不等式(*)也成立，即n= +1时原不等式成立.

由①②可知对于任何n∈N*（n≥2）原不等式成立.

温馨提示

当"假设不等式"直接向"目标不等式"过渡有困难时，可以先找一个介于"假设不等式"和"目标不等式"之间的"中途不等式".通过对"中途不等式"的证明，实现由"假设不等式"到"目标不等式"的平稳过渡.而这个"中途不等式"仅起到桥梁作用.本例关键是尽快由"假设不等式"得到一个右边和"目标不等式"完全一样的不等式后，由不等式的传递性寻找到要证明的"中途不等式".

【例3】求证 (n+1)(n+2)+(n+3)*...·（n+n）=2n×1×3×5×...×(2n-1).

证明 用数学归纳法.当n=1时，显然成立.

根据归纳法假设，当n= 时，命题成立，即

( +1)( +2)( +3)...( + )=2 ×1×3×5×...×(2 -1).①

要证明n= +1时，命题也成立，即

( +2)( +3)...( + )( +1+ )( +1+ +1)

=2 +1×1×3×5×...×［2( +1)-1］.②

要用① 证明②，事实上，对等式①两边乘以,就凑好了等式②的左边.接下 ，对［2 ×1×3×5×...×恒等变形，可得②式右边.因此，对任意n∈N*，原不等式成立.

【例4】已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意不相等的实数x1,x2，都有 f(x1)-f(x2) < x1-x2 ，且f(p)=p(p为常数)，又在数列{an}中，a1

（1）an

(2)an+1>an.

思路分析 用数学归纳法证明从"n= 到n= +1"时，关键是"一凑假设，二凑结论".

证明 很明显,n=1时，a1

假设n= 时，a

则当n= +1时，由 f(p)-f(a ) < p-a 及f(p)=p,

可得 p-f(a ) < p-a ,

又a

故 p-f(a )

注意到已知条件f(a )+a =2a +1,

将其变形为f(a )=2a +1-a ,

代入①式得a +1

代入②式得a +1>a .

这样命题(1)、（2）获证.