考点　直线与双曲线的位置关系

题点　直线与双曲线的位置关系

解　当直线l的斜率不存在时，

直线l：x＝1与双曲线相切，符合题意．

当直线l的斜率存在时，

设l的方程为y＝k(x－1)＋1，

代入双曲线方程，

得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.

当4－k2＝0时，k＝±2，

直线l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；

当4－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝.

综上，k＝或k＝±2或k不存在．

类型二　弦长公式及中点弦问题

例2　双曲线的方程是－y2＝1.

(1)直线l的倾斜角为，被双曲线截得的弦长为，求直线l的方程；

(2)过点P(3,1)作直线l′，使其被双曲线截得的弦恰被P点平分，求直线l′的方程．

考点　直线与双曲线的位置关系

题点　弦长及弦中点问题

解　(1)设直线l的方程为y＝x＋m，代入双曲线方程，得3x2＋8mx＋4(m2＋1)＝0，

Δ＝(8m)2－4×3×4(m2＋1)＝16(m2－3)>0，

∴m2>3.

设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

则x1＋x2＝－m，x1x2＝.

由弦长公式|AB|＝|x1－x2|，得

×＝，