将分子或分母放大(缩小):

(k∈R,k>1)等.

典题精讲

【例1】 (经典回放)若a3+b3=2,求证:a+b≤2.

思路分析：本题结论的反面比原结论更具体,更简洁,宜用反证法.

证法一：假设a+b>2,a2-ab+b2=(ab)2+b2≥0.

而取等号的条件为a=b=0，显然不可能，∴a2-ab+b2>0.则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)>2(a2-ab+b2),而a3+b3=2,故a2-ab+b2<1.

∴1+ab>a2+b2≥2ab.从而ab<1.

∴a2+b2<1+ab<2.

∴(a+b)2=a2+b2+2ab<2+2ab<4.

∴a+b<2.

这与假设矛盾,故a+b≤2.

证法二:假设a+b>2,则a>2-b,故2=a3+b3>(2-b)3+b3,即2>8-12b+6b2,即(b-1)2<0,这不可能,从而a+b≤2.

证法三:假设a+b>2,则(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)>8.

由a3+b3=2,得3ab(a+b)>6.故ab(a+b)>2.

又a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2,

∴ab(a+b)>(a+b)(a2-ab+b2).

∴a2-ab+b2

这不可能，故a+b≤2.

绿色通道：本题三种方法均采用反证法，有的推至与假设矛盾，有的推至与已知事实矛盾.一般说来,结论的语气过于肯定或肯定"过头"时,都可以考虑用反证法.

再是本题的已知条件非常少,为了增加可利用的条件,从反证法的角度来说,"假设"也是已知条件,因而,可考虑反证法.

【变式训练】 若|a|<1,|b|<1,求证:<1.

思路分析：本题由已知条件不易入手证明,而结论也不易变形,即直接证有困难,因而可联想反证法.

证明:假设≥1,则|a+b|≥|1+ab|,

∴a2+b2+2ab≥1+2ab+a2b2.

∴a2+b2-a2b2-1≥0.

∴a2-1-b2(a2-1)≥0.

∴(a2-1)(1-b2)≥0.

∴