得x=ln(2a)∈(0,1),
所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增.
于是,g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b.
综上所述,当a≤时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b;
当 当a≥时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=e-2a-b. 若将本例条件改为"当b=0时,函数g(x)在区间[0,1]上的最小值为0",求a的值. 解:当b=0时,因为f(x)=ex-ax2-1, 所以g(x)=f′(x)=ex-2ax,又g′(x)=ex-2a, 因为x∈[0,1],1≤ex≤e, 所以(1)若a≤,则2a≤1,g′(x)=ex-2a≥0, 所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递增,g(x)min=g(0)=1,不符合题意. (2)若 当ln(2a)0, 所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减, 在区间(ln(2a),1]上单调递增,g(x)min=g(ln(2a))=2a-2aln(2a)=0, 解得a=不符合题意,舍去. (3)若a≥,则2a≥e,g′(x)=ex-2a≤0, 所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减, g(x)min=g(1)=e-2a=0, 解得a=.综上所述,a=. (1)含参数的函数最值问题的两类情况①能根据条件确定出参数,从而化为不含参数函数的最值问题;
当a≥时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=e-2a-b.
若将本例条件改为"当b=0时,函数g(x)在区间[0,1]上的最小值为0",求a的值.
解:当b=0时,因为f(x)=ex-ax2-1,
所以g(x)=f′(x)=ex-2ax,又g′(x)=ex-2a,
因为x∈[0,1],1≤ex≤e,
所以(1)若a≤,则2a≤1,g′(x)=ex-2a≥0,
所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递增,g(x)min=g(0)=1,不符合题意.
(2)若 当ln(2a)0, 所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减, 在区间(ln(2a),1]上单调递增,g(x)min=g(ln(2a))=2a-2aln(2a)=0, 解得a=不符合题意,舍去. (3)若a≥,则2a≥e,g′(x)=ex-2a≤0, 所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减, g(x)min=g(1)=e-2a=0, 解得a=.综上所述,a=. (1)含参数的函数最值问题的两类情况①能根据条件确定出参数,从而化为不含参数函数的最值问题;
当ln(2a)0,
所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,
在区间(ln(2a),1]上单调递增,g(x)min=g(ln(2a))=2a-2aln(2a)=0,
解得a=不符合题意,舍去.
(3)若a≥,则2a≥e,g′(x)=ex-2a≤0,
所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减,
g(x)min=g(1)=e-2a=0,
解得a=.综上所述,a=.
(1)含参数的函数最值问题的两类情况
①能根据条件确定出参数,从而化为不含参数函数的最值问题;