2018-2019学年北师大版必修五 第三章 §3 基本不等式 学案
2018-2019学年北师大版必修五    第三章 §3 基本不等式   学案第3页

∴>0,>0,

∴+≥2=2,即+≥2,

当且仅当x=y时,等号成立.

(2)∵x,y都是正数,

∴x+y≥2>0,

x2+y2≥2>0,x3+y3≥2>0.

∴(x+y)(x2+y2)(x3+y3)

≥2·2·2=8x3y3,

即(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3,

当且仅当x=y时,等号成立.

反思与感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项

(1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以"已知"看"可知",逐步推向"未知".

(2)注意事项

①多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立;

②累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用;

③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型,再使用.

跟踪训练2 已知a,b,c都是正实数,求证:(a+b)(b+c)·(c+a)≥8abc.

考点 基本不等式证明不等式

题点 运用基本不等式证明不等式

证明 ∵a,b,c都是正实数,

∴a+b≥2>0,b+c≥2>0,c+a≥2>0.

∴(a+b)(b+c)(c+a)≥2·2·2=8abc.

即(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc,

当且仅当a=b=c时,等号成立.

类型三 用基本不等式比较大小

例3 某工厂生产某种产品,第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x(a,b,x均大于零),则( )