例3　已知函数f(x)＝x3－ax－1.

(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；

(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．

解　(1)f′(x)＝3x2－a，

因为f(x)在R上是增函数，所以f′(x)≥0在R上恒成立．

即3x2－a≥0在R上恒成立．

即a≤3x2，而3x2≥0，所以a≤0.

当a＝0时，f(x)＝x3－1在R上单调递增，符合题意．

所以a的取值范围是(－∞，0]．

(2)假设存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，

则f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立．

即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2，

又因为在(－1,1)上，0≤3x2<3，所以a≥3.

当a＝3时，f′(x)＝3x2－3，在(－1,1)上，f′(x)<0，

所以f(x)在(－1,1)上单调递减，即a＝3符合题意，

所以存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，且a的取值范围是3，＋∞)．

反思与感悟　在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立来求解)，然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0，若不能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f′(x)能恒等于0，则由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立解出的参数的取值范围来确定．

跟踪训练3　(1)若函数f(x)＝4x3－ax＋3的单调递减区间是，则实数a的值是多少？

(2)若函数f(x)＝4x3－ax＋3在上是单调函数，则实数a的取值范围为多少？

解　(1)f′(x)＝12x2－a，

∵f(x)的单调递减区间为，

∴x＝±为f′(x)＝0的两个根，∴a＝3.

(2)若f(x)在上为单调增函数，则f′(x)≥0在上恒成立，

即12x2－a≥0在上恒成立，

∴a≤12x2在上恒成立，