(1)求a，b的值；

(2)求f(x)的单调区间及极值；

(3)当x∈1,5]时，求函数的最值．

解　∵函数f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)是奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，

得－ax3＋(a－1)x2－48(a－2)x＋b＝－ax3－(a－1)x2－48(a－2)x－b，

于是2(a－1)x＋2b＝0恒成立，∴，解得a＝1，b＝0；

(2)由(1)得f(x)＝x3－48x，

∴f′(x)＝3x2－48＝3(x＋4)(x－4)，

令f′(x)＝0，得x1＝－4，x2＝4，令f′(x)<0，得－40，得x<－4或x>4.

∴f(x)的递减区间为(－4,4)，递增区间为(－∞，－4)和(4，＋∞)，

∴f(x)极大＝f(－4)＝128，f(x)极小＝f(4)＝－128.

(3)由(2)知，函数在1,4]上单调递减，在4,5]上单调递增，对f(4)＝－128，f(1)＝－47，f(5)＝－115，所以函数的最大值为－47，最小值为－128.

小结　(1)讨论函数的单调性首先要求出函数的定义域，在定义域内解f′(x)>0得增区间，解f′(x)<0得减区间．

(2)求极值时一般需确定f′(x)＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点．

(3)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．

跟踪训练2　已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.

(1)求a，b的值；

(2)求函数的极小值；

(3)求函数在－1,1]的最值．

解　y′＝3ax2＋2bx，当x＝1时，y′|x＝1＝3a＋2b＝0，

y|x＝1＝a＋b＝3，

即，a＝－6，b＝9.

(2)y＝－6x3＋9x2，y＝－18x2＋18x，令y＝0，得x＝0，或x＝1，

∴y极小值＝y|x＝0＝0.

(3)由(1)知，函数y＝f(x)＝－6x3＋9x2，又f(－1)＝15，f(0)＝0，f(1)＝3，所以函数的最大值为15，最小值为0.

题型三　导数的综合应用