即证xln x

当00，xln x≤0，

故xln x

当x>1时，令g(x)＝ex＋sin x－1－xln x，

故g′(x)＝ex＋cos x－ln x－1.

令h(x)＝g′(x)＝ex＋cos x－ln x－1，

则h′(x)＝ex－－sin x，

当x>1时，ex－>e－1>1，

所以h′(x)＝ex－－sin x>0，

故h(x)在(1，＋∞)上单调递增．

故h(x)>h(1)＝e＋cos 1－1>0，即g′(x)>0，

所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，

所以g(x)>g(1)＝e＋sin 1－1>0，

即xln x

综上所述，f(x)

题型二　不等式恒成立或有解问题

例2已知函数f(x)＝.

(1)若函数f(x)在区间上存在极值，求正实数a的取值范围；

(2)如果当x≥1时，不等式f(x)≥恒成立，求实数k的取值范围．

解　(1)函数的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝＝－，

令f′(x)＝0，得x＝1.

当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．

所以x＝1为函数f(x)的极大值点，且是唯一极值点，

所以0