故

(2)当x≥1时，k≤恒成立，

令g(x)＝(x≥1)，

则g′(x)＝＝.

再令h(x)＝x－lnx(x≥1)，则h′(x)＝1－≥0，

所以h(x)≥h(1)＝1，所以g′(x)>0，

所以g(x)为单调增函数，所以g(x)≥g(1)＝2，

故k≤2，即实数k的取值范围是(－∞，2]．

引申探究

本例(2)中若改为：∃x∈[1，e]，使不等式f(x)≥成立，求实数k的取值范围．

解　当x∈[1，e]时，k≤有解，

令g(x)＝(x∈[1，e])，由例(2)解题知，

g(x)为单调增函数，所以g(x)max＝g(e)＝2＋，

所以k≤2＋，即实数k的取值范围是.

思维升华利用导数解决不等式的恒成立问题的策略

(1)首先要构造函数，利用导数求出最值，求出参数的取值范围．

(2)也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

跟踪训练2已知函数f(x)＝ex－1－x－ax2.

(1)当a＝0时，求证：f(x)≥0；

(2)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．

(1)证明　当a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.

当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；

当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.

故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，

f(x)min＝f(0)＝0，∴f(x)≥0.

(2)解　f′(x)＝ex－1－2ax，令h(x)＝ex－1－2ax，