2.某一件商品的成本为30元,在某段时间内,若以每件x元出售,可卖出(200-x)件,当每件商品的定价为______元时,利润最大.
[解析] 利润为S(x)=(x-30)(200-x)
=-x2+230x-6 000,
S′(x)=-2x+230,
由S′(x)=0,得x=115,这时利润达到最大.
[答案] 115
面积、体积的最值问题 【例1】 请你设计一个包装盒,如图,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x(cm).
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
[思路探究] 弄清题意,根据"侧面积=4×底面边长×高"和"体积=底面边长的平方×高"这两个等量关系,用x将等量关系中的相关量表示出来,建立函数关系式,然后求最值.
[解] 设包装盒的高为h cm,底面边长为a cm.
由已知得a=x,h==(30-x),0<x<30.