第10课时　"杨辉三角"与二项式系数的性质

基础达标(水平一)

1.若(x2+1)(x-3)9=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3+...+a11(x-2)11,则a1+a2+a3+...+a11的值为(　　).

A.-1 B.1 C.3 D.5

【解析】令x=2,得-5=a0,令x=3,得0=a0+a1+a2+a3+...+a11,所以a1+a2+a3+...+a11=-a0=5.

【答案】D

2.若(√2-x)10=a0+a1x+a2x2+...+a10x10,则(a0+a2+...+a10)2-(a1+a3+...+a9)2=(　　).

A.1 B.-1 C.2 D.-2

【解析】令x=1,得a0+a1+a2+...+a10=(√2-1)10,

令x=-1,得a0-a1+a2-a3+...+a10=(√2+1)10,

故(a0+a2+...+a10)2-(a1+a3+...+a9)2

=(a0+a1+a2+...+a10)(a0-a1+a2-a3+...+a10)

=(√2-1)10×(√2+1)10=1.

【答案】A

3.已知C_n^0+2C_n^1+22C_n^2+...+2nC_n^n=729,则C_n^1+C_n^3+C_n^5的值为(　　).

A.64 B.32 C.63 D.31

【解析】由已知(1+2)n=3n=729,解得n=6,则C_n^1+C_n^3+C_n^5=C_6^1+C_6^3+C_6^5=2^6/2=32.

【答案】B

4.把通项公式为an=2n-1(n∈N*)的数列{an}的各项排成如图所示的三角形数阵.记S(m,n)表示该数阵的第m行中从左到右的第n个数,则S(10,6)对应数阵中的数是(　　).

　　1　 　

3　 　5

7　 　9　 　11

13　 　15　 　17　 　19

......

A.91 B.101 C.103 D.106

【解析】设这个数阵每一行的第一个数组成数列{bn},则b1=1,bn-bn-1=2(n-1),∴bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+...+(b2-b1)+b1=2[(n-1)+(n-2)+...+1]+1=n2-n+1,

∴b10=102-10+1=91,S(10,6)=b10+2×(6-1)=101.

【答案】B

5.若(x^2+1/x^3 )^n展开式的各项系数之和为32,则其展开式中的常数项是　　　　.

【解析】令x=1,得2n=32,所以n=5.

Tr+1=C_5^r(x2)5-r·(1/x^3 )^r=C_5^r·x10-5r,

由10-5r=0,得r=2,故展开式中的常数项是C_5^2=10.

【答案】10

6.已知(1+x)n展开式的第五、六、七项系数成等差数列,求展开式中系数最大的项为　　　　.

【解析】在(1+x)n的展开式中,第五、六、七项的系数就是它们的二项式系数,即分别是C_n^4、C_n^5、C_n^6.由题意有C_n^6+C_n^4=2C_n^5,即n2-21n+98=0,解得n=14或n=7.