3.3.3　最大值与最小值

　　学习目标：1.能够区分极值与最值两个不同的概念．　2.掌握用导数求函数的极值与最值的步骤，会求闭区间上函数的最大值与最小值．(重点、难点)

　　[自 主 预 习·探 新 知]

　　1．函数的最大值与最小值

　　如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))，则f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值(最小值)．

　　2．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤

　　第一步，求f(x)在区间(a，b)上的极值；

　　第二步，将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．

　　[基础自测]

　　1．判断正误：

　　(1)函数的最大值一定是函数的极大值．(　　)

　　(2)开区间上的单调连续函数无最值．(　　)

　　(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．(　　)

　　【解析】　(1)×.反例：f(x)＝x3－x2＋2x＋1在[0,10]的最大值是f(10)，而不是其极大值f(1)．

　　(2)√.因为函数是单调函数，故无极值，又因为是开区间，所以最值不可能在区间端点上取到，故正确．

　　(3)×.反例：f(x)＝－x2在[－1,1]上的最大值为f(0)＝0，不在区间端点取得．

　　【答案】　(1)×　(2)√　(3)×

　　2．已知函数y＝x3－x2－x，该函数在区间[0,3]上的最大值是________．

　　【解析】　y′＝3x2－2x－1，由y′＝0得3x2－2x－1＝0，

得x1＝－，x2＝1.