利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式，这就往往要涉及到"添项"与"减项"等变形技巧，例如，在本例中，对x2k＋2－y2k＋2进行拼凑，即减去x2y2k再加上x2y2k，然后重新组合，目的是拼凑出n＝k时的归纳假设，剩余部分仍能被x＋y整除．

　　2．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除．

　　证明：(1)当n＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36，能被9整除，命题成立．

　　(2)假设n＝k时，命题成立，即

　　k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．

　　当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3

　　＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2·3＋3k·32＋33

　　＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3＋9(k2＋3k＋3)．

　　由归纳假设，上式中k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，又9(k2＋3k＋3)也能被9整除．

　　故n＝k＋1时命题也成立．

　　由(1)(2)可知，对任意n∈N*命题成立.

用数学归纳法证明几何命题 　　

　　[例3]　平面上有n(n≥2，且n∈N＋)条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条不过同一点，

　　求证：这n条直线被分成f(n)＝n2.

　　[思路点拨]　本题考查数学归纳法在证明几何命题中的应用，解答本题应搞清交点随n的变化而变化的规律，然后采用数学归纳法证明．

　　[精解详析]　(1)当n＝2时，

　　∵符合条件的两直线被分成4段，

　　又f(2)＝22＝4.∴当n＝2时，命题成立．

　　(2)假设当n＝k(k≥2且k∈N＋)时命题成立，就是该平面内满足题设的任何k条直线被分成f(k)＝k2段，则当n＝k＋1时，任取其中一条直线记为l，如图，剩下的k条直线为l1，l2，...，lk.由归纳假设知，它们被分为f(k)＝k2段．

　　由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点，所以直线l被l1，l2，l3，...，lk分为k＋1段，同时l把l1，l2，...，lk中每条直线上的某一段一分为二，其增加k段．

　　∴f(k＋1)＝f(k)＋k＋1＋k

＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.