由柯西不等式，有

　　[(n＋1)＋(n＋2)＋...＋2n]≥n2，

　　于是＋＋...＋≥＝＝≥＝，

　　又由柯西不等式，有＋＋...＋＜

　　＜ ＝.

　　[例2]　设a，b，c∈R＋，且满足abc＝1，试证明：＋＋≥.

　　[证明]　∵abc＝1，则所求证的不等式变为

　　＋＋≥.

　　又(ab＋bc＋ca)2＝

　　2

　　≤[(ac＋bc)＋(ab＋ac)＋(ba＋bc)]，

　　∴＋＋≥(ac＋bc＋ab)≥

　　·3＝，

　　当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立．

　　原不等式得证.

利用柯西不等式求最值 　　

　　利用不等式解决最值，尤其是含多个变量的问题，是一种常用方法．特别是条件最值问题，通常运用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意取等号的条件能否满足．

　　[例3]　若5x1＋6x2－7x3＋4x4＝1，则3x＋2x＋5x＋x的最小值是(　　)

　　A．　　　　　　　　　 B．

　　C．3 D．

[解析]　∵(3x＋2x＋5x＋x)