∴y′＝3ln x＋1＋x·＝3ln x＋4，

　　∴k＝y′|x＝1＝4，

　　∴所求切线的方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.

　　[答案]　y＝4x－3

　　1．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线的斜率为________．

　　解析：y′＝(ex)′＝ex，

　　所以当x＝0时，y′＝e0＝1.

　　答案：1

　　2．曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为________．

　　解析：y′＝－3x2＋6x，∴当x＝1时，y′＝3，

　　即斜率k＝3.

　　所以切线方程为y－2＝3(x－1)，即3x－y－1＝0.

　　答案：3x－y－1＝0

　　3．如果曲线y＝x4－x在点P处的切线垂直于直线y＝－x，那么点P的坐标为________．

　　解析：由y′＝4x3－1，当y′＝3时，有4x3－1＝3，可解得x＝1，此时，点P的坐标为(1,0)．

　　答案：(1,0)

　　4．(北京高考)已知函数f(x)＝x2＋xsin x＋cos x.

　　(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；

　　(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．

　　解：由f(x)＝x2＋xsin x＋cos x，得f′(x)＝x(2＋cos x)，f(x)为偶函数．

　　(1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，

　　所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)．

　　解得a＝0，b＝f(0)＝1.

　　(2)令f′(x)＝0，得x＝0.

　　f(x)与f′(x)的变化情况如下：

x (－∞，0) 0 (0，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x)  1  　　所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1是f(x)的最小值．

当b≤1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b最多只有一个交点；