图1

②如图1,设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量,A.是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究a与e1、e2之间的关系.

活动:如图1,在平面内任取一点O,作=e1,=e2,=a..过点C作平行于直线OB的直线,与直线OA.交于点M;过点C作平行于直线OA.的直线,与直线OB交于点N.由向量的线性运算性质可知,存在实数λ1、λ2,使得=λ1e1,=λ2e2.由于=+,所以a=λ1e1+λ2e2.也就是说,任一向量a.都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式.

由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示出来.当e1、e2确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方便.

由此可得:平面向量基本定理:

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1、λ2,使a.=λ1e1+λ2e2.

定理说明:(1)我们把不共线向量e1、e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底;

(2)基底不唯一,关键是不共线;

(3)由定理可将任一向量a.在给出基底e1、e2的条件下进行分解;

(4)基底给定时,分解形式唯一.

讨论结果:①可以.

②a=λ1e1+λ2e2.

提出问题

①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？

②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？

活动:教师引导学生结合向量的定义和性质,思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样的,结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况,对回答正确的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论:不共线向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定:

图2

已知两个非零向量a和b(如图2),作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a.与b的夹角.

显然,当θ=0°时,a.与b同向;当θ=180°时,a.与b反向.因此,两非零向量的夹角在区间[0°,180°]内.